cho 3 số x,y,z dương thỏa mản điều kiện x2+y2=z2. tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\)
giải hộ mình đi mai thi rồi
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 9 2016
Ta có 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = (xy + x2) + (yz + xz) = (x + y)(x + z)
=> \(1x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+x^2\right)}}=\:x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\:x\left|y+z\right|\)
26 tháng 9 2016
Tương tự như vậy thì ta có
A = xy + xz + yx + yz + zx + zy = 2
18 tháng 10 2020
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 9 2019
Đặt \(A=\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(x+z\right)}\)
\(\Rightarrow F-A=\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^2-z^2}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4-x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}=0\)
\(\Rightarrow F=A\)
\(\Rightarrow2F=F+A=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow2F\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow2F\ge\frac{x^2+y^2}{2\left(x+y\right)}+\frac{y^2+z^2}{2\left(y+z\right)}+\frac{z^2+x^2}{2\left(z+x\right)}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)}+\frac{\left(y+z\right)^2}{4\left(y+z\right)}+\frac{\left(z+x\right)^2}{4\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow2F\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow F\ge\frac{1}{4}\)
\(F_{min}=\frac{1}{4}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
KK
28 tháng 10 2018
https://olm.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=199649&subject=1&q=+++++++++++Cho+x,y,z%3E0.+Th%E1%BB%8Fa+m%C3%A3n:+x+y+z+%E2%88%9Axyz=4++T%C3%ADnh+Gi%C3%A1+tr%E1%BB%8B+c%E1%BB%A7a+bi%E1%BB%83u+th%E1%BB%A9c:A=%E2%88%9Ax(4%E2%88%92y)(4%E2%88%92z)+%E2%88%9Ay(4%E2%88%92z)(4%E2%88%92x)+%E2%88%9Az(4%E2%88%92x)(4%E2%88%92y)%E2%88%92%E2%88%9Axyz++++++++++
Bạn tự tham khảo nhé
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 1 2017
Lời giải:
Sử dụng bổ đề: Với \(a,b>0\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\)
BĐT đúng vì nó tương đương với \((a-b)^2(a+b)\geq 0\) (luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(P\leq \frac{1}{x^3yz(y+z)+1}+\frac{1}{y^3xz(x+z)+1}+\frac{1}{z^3xy(x+y)+1}\)
\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{x^2(y+z)+xyz}+\frac{1}{y^2(x+z)+xyz}+\frac{1}{z^2(x+y)+xyz}\)
\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{x(xy+yz+xz)}+\frac{1}{y(xy+yz+xz)}+\frac{1}{z(xy+yz+xz)}=\frac{xy+yz+xz}{xy+yz+xz}=1\)
Vậy \(P_{\max}=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
26 tháng 4 2020
\(E= {\sum {(yz)^2 \over xy+zx}}\)>=3/2 (AD BĐT Nesbit)
Dấu = xảy ra <=>x=y=z=1
26 tháng 4 2020
đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow abc=\frac{1}{xyz}=1\)
Ta có : \(x+y=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=c\left(a+b\right)\)
Tương tự : \(y+z=a\left(b+c\right);x+z=b\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow E=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow E\ge\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN của E là \(\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)